Existe una fórmula que permite resolver cualquier ecuación de segundo grado, que es la siguiente:
La fórmula genera dos respuestas: Una con el signo más (+) y otra con el signo menos (−) antes de la raíz. Solucionar una ecuación de segundo grado se limita, entonces, a identificar las letras a, b y c y sustituir sus valores en la fórmula.
La fórmula general para resolver una ecuación de segundo grado sirve para resolver cualquier ecuación de segundo grado, sea completa o incompleta, y obtener buenos resultados tiene que ver con las técnicas de factorización.
En toda ecuación cuadrática uno de sus miembros es un polinomio
de segundo grado y el otro es cero; entonces, cuando el polinomio de
segundo grado pueda factorizarse, tenemos que convertirlo en un
producto de binomios.
Obtenido el producto de binomios, debemos buscar el valor de x de cada uno.
Para hacerlo igualamos a cero cada factor y se despeja para la
variable. Igualamos a cero ya que sabemos que si un producto es igual a
cero, uno de sus multiplicandos, o ambos, es igual a cero.
Si en la ecuación la incógnita está elevada al cuadrado, decimos que es una ecuación de segundo grado (llamadas también ecuaciones cuadráticas), que se caracterizan porque pueden tener dos soluciones (aunque también una sola, e incluso ninguna). Cualquier ecuación de segundo grado o cuadrática se puede expresar de la siguiente forma: ax2 + bx + c = 0 Donde a, b y c son unos parámetros que habrá que sustituir por los números reales que corresponda en cada caso particular.
Lo que debemos hacer: 1.- Se igualan los coeficientes de una incógnita, salvo el signo, eligiendo un múltiplo común de ambos. 2.- Puede ser el producto de los coeficientes de esa incógnita. 3.- Se suman o restan, según convenga, las ecuaciones. 4.- Se resuelve la ecuación de primer grado resultante. 5.- Se calcula la otra incógnita sustituyendo el valor obtenido en una de las ecuaciones del sistema. Ejemplo:
Resolver Primero se deben igualar el 6 y el 8 de la incógnita x. Para
hacerlo, amplificamos la primera ecuación por 4 y amplificamos la
segunda ecuación por –3. Esto porque al multiplicar 6x por 4 queda 24x;
y al multiplicar 8x por –3 queda –24x, y se anulan entre sí; o sea,
hemos eliminado una incógnita para trabajar solo con la otra (la y). Luego hacemos lo mismo con la y.
Lo que debemos hacer: 1.- Se despeja una de las incógnitas en ambas ecuaciones. 2.- Se igualan las expresiones, con lo que obtenemos una ecuación con una incógnita. 3.- Se resuelve la ecuación resultante. 4.- El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las dos expresiones en las que aparecía despejada la otra incógnita. 5.- Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema. Ejemplo: Resolver
Despejamos x en la primera ecuación: Despejamos x en la segunda ecuación: x = –1 – 2y Igualamos ambas expresiones:
:Se sustituye este valor en la primera o segunda ecuación: x = 3 + 2(−1) x = 3 − 2 x = 1 Solución del sistema: x = 1, y = –1
Lo que debemos hacer: 1.- Despejar una de las incógnitas en una de las ecuaciones. 2.- Sustituir la expresión obtenida en la otra ecuación. 3.- Resolver la ecuación resultante. 4.- Calcular la otra incógnita en la ecuación despejada. Ejemplo:
Se despeja x en la segunda ecuación: x = 8 – 2y Se sustituyen en la primera ecuación: 3(8 – 2y) – 4y = – 6 Operando: 24 − 6y − 4y = − 6 24 – 10y = – 6 − 10y = − 6 − 24 − 10y = − 30 Se resuelve:
y = 3
Se sustituye este valor en la segunda: x + 2(3) = 8 x + 6 = 8
Llamamos sistema de ecuaciones a un conjunto cualquiera de ecuaciones. Por ejemplo, las ecuaciones:
forman un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.
El conjunto de ecuaciones:
forman un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas.
Se
llama grado del sistema de ecuaciones al mayor exponente al que se
encuentre elevada alguna incógnita del sistema. Por ejemplo, Es un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas de segundo grado, porque el mayor exponente es 2 (la x e y al cuadrado). Este sistema con ecuaciones de segundo grado se llaman también sistema de ecuaciones cuadráticas.
El sistema de ecuaciones es de primer grado con dos incógnitas (porque todos los valores están elevados a 1, que no se escribe). Cuando el sistema de ecuaciones es de primer grado y además no aparecen términos con las incógnitas multiplicadas entre sí (tipo x • y) se dice que es un sistema de ecuaciones lineales.
En matemáticas, la división por cero es aquella división en la que el divisor es igual a cero. En aritmética y álgebra, es considerada una «indefinición» o «indeterminación» que puede originar paradojas matemáticas.
En los números naturales, enteros y reales, la división por cero no posee un valor definido, debido a que para todo número n, el producto n · 0 = 0, por lo que el 0 no tiene inverso multiplicativo. En otros cuerpos matemáticos, pueden existir divisores de cero, sin embargo, estos aparecen cuando el cero es el dividendo, no el divisor.
El problema surgió en los años 650, cuando en India se comenzó a popularizar el uso del cero y los números negativos. El primero en aproximarse al planteamiento de este problema fue el matemático indio Bhaskara I, quien escribió que , en el siglo VII.
Como procedimiento general para resolver ecuaciones enteras de primer grado se deben seguir los siguientes pasos: 1. Se reducen los términos semejantes, cuando es posible. 2.
Se hace la transposición de términos (aplicando inverso aditivo o
multiplicativo), los que contengan la incógnita se ubican en el miembro
izquierdo, y los que carezcan de ella en el derecho. 3. Se reducen términos semejantes, hasta donde es posible. 4.
Se despeja la incógnita, dividiendo ambos miembros de la ecuación por
el coeficiente de la incógnita (inverso multiplicativo), y se
simplifica.
Resolución de ecuaciones de primer grado con una incógnita
Para
resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita, aplicamos el
criterio del operador inverso (inverso aditivo o inverso
multiplicativo), como veremos en el siguiente ejemplo:
Resolver la ecuación : 2x – 3 = 53
Debemos
tener las letras a un lado y los números al otro lado de la igualdad
(=), entonces para llevar el –3 al otro lado de la igualdad, le
aplicamos el inverso aditivo (el inverso aditivo de –3 es +3, porque la
operación inversa de la resta es la suma).
Entonces hacemos: 2x – 3 + 3 = 53 + 3
En el primer miembro –3 se elimina con +3 y tendremos: 2x = 53 + 3 2x = 56
Ahora tenemos el número 2 que está multiplicando a la variable o incógnita x,
entonces lo pasaremos al otro lado de la igualdad dividiendo. Para
hacerlo, aplicamos el inverso multiplicativo de 2 (que es ½) a ambos
lados de la ecuación: 2x • ½ = 56 • ½
Simplificamos y tendremos ahora: x = 56 / 2 x = 28
Se denominan ecuaciones lineales o de
primer grado a las igualdades algebraicas con incógnitas cuyo exponente
es 1 (elevadas a uno, que no se escribe).as con incógnitas cuyo exponente
es 1 (elevadas a uno, que no se escribe).
Una de las pautas de números más interesantes el es triángulo de Pascal (llamado así en honor de Blaise Pascal, un famoso matemático y filósofo francés).
Para construir el triángulo, empieza con "1" arriba, y pon números debajo formando un triángulo.
Cada número es la suma de los dos números que tiene encima, menos los extremos, que son siempre "1".
Prueba esto: empieza con un 1 de la izquierda, da un paso arriba y uno al lado, suma los cuadrados donde caigas (como en el dibujo)... las sumas que salen son la sucesión de Fibonacci.
(La sucesión de Fibonacci se hace sumando dos números para conseguir el siguiente, por ejemplo 3+5=8, después 5+8=13, etc.)
Simetría
El triángulo es simétrico, esto quiere decir que se ve igual desde la derecha que desde la izquierda
USAR EL TRIÁNGULO DE PASCAL
Caras y cruces
El triángulo de Pascal te dice cuántas combinaciones de caras y cruces de pueden salir tirando monedas. Así puedes averiguar la "probabilidad" de cualquier combinación.
Por ejemplo, si tiras una moneda tres veces, sólo hay una manera de sacar tres caras (CCC), pero hay tres maneras de sacar dos caras y una cruz (CCX, CXC, XCC), también tres de sacar una cara y dos cruces (CXX, XCX, CXX) y sólo una de sacar tres cruces (XXX). Esta es la pauta "1,3,3,1" en el triángulo de Pascal.
¿Cuál es la probabilidad de sacar exactamente dos caras con 4 monedas?
Hay 1+4+6+4+1 = 16 (o 4×4=16) resultados posibles, y 6 de ellos dan exactamente dos caras. Así que la probabilidad es 6/16, o 37.5%
Combinaciones
El triángulo también muestra cuántas combinaciones de objetos son posibles.
Por ejemplo, si tienes 16 bolas de billar, ¿de cuántas maneras puedes elegir tres de ellas (sin hacer diferencia del orden en que las eliges)?
Respuesta: baja a la fila 16 (la primera es la fila 0), y mira 3 lugares a la derecha, allí está la respuesta, 560. Aquí tienes un trozo del triángulo en la fila 16:
TEMA:Desarrollo general de un binomio elevado a la "n" potencia mediante el uso del triangulo de Pascal.
Uno de los temas que mas se le complica a los jóvenes en el área de las matemáticas es el desarrollo de los binomios a alguna potencia, la causa de esta complicación es que las instrucciones siempre fueron memorísticas, casi casi como canción, como en el caso de un binomio al cuadrado, cuya formula sería la siguiente:
(a+b)2
(a2+2ab+b2)
Aunque parece muy difícil, no lo es si seguimos alguna sencillas reglas, así que, pongamos atención a las siguientes instrucciones con las cuales resolveremos un binomio a la 3 potencia
(a+b)3
Paso No. 1:El desarrollo tendrá (n+1) elementos, esto es, uno mas del exponente, si esta elevado a la 2 tendrá 3 elementos (2+1), en este caso, nuestra ecuación esta elevada a la "3", por lo que tendrá 4 elementos (3+1) así, el primer paso quedaría de la siguiente manera.
Paso No. 2:Como segundo paso, colocamos la primera y la segunda variable en todos y cada uno de los espacios, como podemos ver en el siguiente ejemplo.
Paso No. 3:Empezamos por colocar los exponentes primero a la primer variable empezando del exponente máximo en este caso "3" reduciendo uno en cada espacio hasta llegar al último en "0".
Paso No. 4:Ahora empezamos con la segunda variable del binomio, colocando los exponente de manera inversa empezando ahora de menor a mayor, en este caso empezando de "0" y sumando uno en cada espacio hasta llegar hasta "3" en el último lugar.
Paso No. 5:Ahora, utilizando el triángulo de Pascal, colocamos en cada espacio el numero que corresponda al renglón del triángulo con el que se relaciona, en esta caso, como el exponente es "3", utilizamos los número del renglón "3".
Paso No. 5:Quedando de la siguiente manera
Paso No. 6:Por último se eliminan los valores que tengan "0" y "1" en el exponente y en el coeficiente, quedando de la siguiente manera.
De esta manera hemos desarrollado un binomio a la "3" potencia y hemos aprendido como hacerlo para cualquier exponente "n".
Son aquellos productos que se rigen por reglas fijas y cuyo resultado puede hallarse por simple inspección. Su denominados también "Identidades Algebraicas". Son aquellos productos cuyo desarrollo es clásico y por esto se le reconoce fácilmente. Las más importantes son :
Binomio de Suma al Cuadrado:El Cuadrado del primer Termino, más el Doble Producto del Primer por el segundo Termino, más el Cuadrado del Segundo Término. ( a + b )2 = a2 + 2ab + b2 Binomio Diferencia al Cuadrado:El Cuadrado del primer Término, menos el Doble Producto del Primer por el segundo Término, más el Cuadrado del Segundo Término. ( a - b )2 = a2 - 2ab + b2 Diferencia de Cuadrados: El Cuadrado del Primer Término menos El Cuadrado del Segundo Término. ( a + b ) ( a - b ) = a2 - b2 Producto de dos binomios que tienen un término común: El cuadrado del termino común, mas el producto de termino comun por la suma de los terminos no comúnes, mas el producto de los términos no comunes. ( x + a)(x + b) = x2 + ( a + b) x + ab
Binomio Suma al Cubo: El Cubo del Primer Término, más el triple producto del cuadrado del primer por el segundo Término, más el triple producto del primer por el cuadrado del segundo Término, más el cubo del segundo Término. ( a + b )3 = a3 + 3 a2b + 3 ab2 + b3 = a3 + b3 + 3 ab (a + b)
Binomio Diferencia al Cubo El Cubo del Primer Término, menos el triple producto del cuadrado del primer por el segundo Término, más el triple producto del primer por el cuadrado del segundo Término, menos el cubo del segundo Término. ( a - b )3 = a3 - 3 a2b + 3 ab2 - b3 Suma de dos Cubos: Se saca raiz cubica a cada uno de los dos terminos cubicos, para obtener un binomio (la suma de dos numeros), y en base a ese binomio, se utiliza la siguiente regla para obtener un trinomio: el cuadrado del primero, menos el producto del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo. a3 + b3 = ( a + b ) ( a2 – ab + b2)
Diferencia de Cubos Se saca raiz cubica a cada uno de los dos terminos cubicos, para obtener un binomio (la diferencia de dos numeros), y en base a ese binomio, se utiliza la siguiente regla para obtener un trinomio: el cuadrado del primero, más el producto del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo. a3 - b3 = ( a - b ) ( a2 + ab + b2)
Trinomio Suma al Cuadrado ó Cuadrado de un Trinomio: El cuadrado del primer término, más el cuadrado del segundo término, más el cuadrado del tercer termino, mas el doble producto del primero por el segundo, más el doble producto del segundo por el tercero, más el doble producto del tercero por el primero. ( a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac = a2 + b2 + c2 + 2 ( ab + bc + ac)
Trinomio Suma al Cubo ( a + b + c)3 = a3 + b3 + c + 3(a + b) . (b +c) . (a + c)
Identidades de Legendre ( a + b)2 + ( a – b)2 = 2 a2 2b2 = 2(a2 + b2) ( a + b)2 + ( a – b)2 = 4 ab
Dos o más radicales son semejantes, cuando tienen el mismo índice y el mismo radicando. La suma algebraica de radicales consiste en sumar o restar todos los radicales semejantes en un solo término.
La potenciación es una operación matemática entre dos términos denominados: base a y exponente n. Se escribe an y se lee usualmente como «a elevado a n» o «a elevado a la n» y el sufijo en femenino correspondiente al exponente n. Hay algunos números especiales, como el 2, al cuadrado o el 3, que le corresponde al cubo. Nótese que en el caso de la potenciación la base y el exponente pueden pertenecer a conjuntos diferentes, en un anillo totalmente general la base será un elemento del anillo pero el exponente será un número natural que no tiene porqué pertenecer al anillo. En un cuerpo el exponente puede ser un número entero o cero.
La radicación de orden n de un númeroa es cualquier número b tal que , donde n se llama índice u orden, a se denomina radicando, y b es una raíz enésima, por lo que se suele conocer también con ese nombre. La notación a seguir tiene varias formas:
.
Para todo n natural, a y b reales positivos, se tiene la equivalencia:
LEY DE LA MULTIPLICACION: al multiplicar dos potencias de igual base se copia la base y se suman los exponentes, para tener el exponente del producto.
LEY DE LA DIVISION: al dividir dos potencias de igual base, se copia la base y al exponente del dividendo se le resta el exponente del divisor, dando el exponente del cociente.
Estas son dos consecuencias importantes de la ley de la división:
PROPIEDAD DE LOS EXPONENTES NEGATIVOS: toda cantidad con un exponente negativo es un número racional, que representa el inverso multiplicativo de un número entero.
PROPIEDAD DEL EXPONENTE 0: al dividir dos cantidades exactamente iguales que tengan idéntico exponente, obtendremos una expresión con exponente cero, que también será equivalente a la unidad.
LEY DE LA INVOLUCION, O ELEVAR A UNA POTENCIA: al elevar una potencia a un exponente, se copia la base y se multiplican los exponentes.
LEY DE LA EVOLUCION, O DE LA EXTRACCION DE RAICES: al extraer la raíz de una potencia, se copia la base de la cantidad subradical, y al exponente de este subradical se le divide el índice de la raíz.
Para dividir un polinomio entre un monomio se distribuye el polinomio sobre el monomio, esto se realiza convirtiéndolos en fracciones.
Pasos:
Colocamos el monomio como denominador de él polinomio.
Separamos el polinomio en diferentes términos separados por el signo y cada uno dividido por el monomio.
Se realizan las respectivas divisiones entre monomios tal como se realizo en el capitulo anterior.
Se realizan las sumas y restas necesarias.
Ejemplos:
División entre polinomios.
En este tipo de división se procede de manera similar a la división aritmética los pasos a seguir son los siguientes.
Se ordenan los polinomios con respecto a una misma letra y en el mismo sentido (en orden ascendente u orden descendente), si el polinomio no es completo se dejan los espacios de los términos que faltan.
El primer termino del cociente se obtiene dividiendo el primer termino del dividendo entre el primer miembro del divisor.
Se multiplica el primer término del cociente por todos los términos del divisor, se coloca este producto debajo de él dividendo y se resta del dividendo.
El segundo termino del cociente se obtiene dividiendo el primer termino del dividendo parcial o resto (resultado del paso anterior), entre el primer termino del divisor.
Se multiplica el segundo término del cociente por todos los términos del divisor, se coloca este producto debajo de él dividendo parcial y se resta del dividendo parcial.
Se continua de esta manera hasta que el resto sea cero o un dividendo parcial cuyo primer termino no pueda ser dividido por el primer termino del divisor.
Cuando esto ocurre el resto será el residuo de la división.
La intención con este método de división es que con cada resta se debe eliminar el termino que se encuentra mas a la izquierda en el dividendo o dividendo parcial.
es de primer grado con dos incógnitas (porque todos los valores están elevados a 1, que no se escribe).
, en el siglo VII.
, donde n se llama índice u orden, a se denomina radicando, y b es una raíz enésima, por lo que se suele conocer también con ese nombre. La notación a seguir tiene varias formas:![y = \sqrt[n]{x} = x^{1/n}](http://upload.wikimedia.org/math/d/a/0/da08201213a1c583a35ad8551b7033a1.png)
.![a = b^n \iff b = \sqrt[n]{a}](http://upload.wikimedia.org/math/c/9/9/c99b9f1ded801acbedaec4892e4a9cfd.png)
.