En matemáticas, la división por cero es aquella división en la que el divisor es igual a cero. En aritmética y álgebra, es considerada una «indefinición» o «indeterminación» que puede originar paradojas matemáticas.
En los números naturales, enteros y reales, la división por cero no posee un valor definido, debido a que para todo número n, el producto n · 0 = 0, por lo que el 0 no tiene inverso multiplicativo. En otros cuerpos matemáticos, pueden existir divisores de cero, sin embargo, estos aparecen cuando el cero es el dividendo, no el divisor.
El problema surgió en los años 650, cuando en India se comenzó a popularizar el uso del cero y los números negativos. El primero en aproximarse al planteamiento de este problema fue el matemático indio Bhaskara I, quien escribió que , en el siglo VII.
Como procedimiento general para resolver ecuaciones enteras de primer grado se deben seguir los siguientes pasos: 1. Se reducen los términos semejantes, cuando es posible. 2.
Se hace la transposición de términos (aplicando inverso aditivo o
multiplicativo), los que contengan la incógnita se ubican en el miembro
izquierdo, y los que carezcan de ella en el derecho. 3. Se reducen términos semejantes, hasta donde es posible. 4.
Se despeja la incógnita, dividiendo ambos miembros de la ecuación por
el coeficiente de la incógnita (inverso multiplicativo), y se
simplifica.
Resolución de ecuaciones de primer grado con una incógnita
Para
resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita, aplicamos el
criterio del operador inverso (inverso aditivo o inverso
multiplicativo), como veremos en el siguiente ejemplo:
Resolver la ecuación : 2x – 3 = 53
Debemos
tener las letras a un lado y los números al otro lado de la igualdad
(=), entonces para llevar el –3 al otro lado de la igualdad, le
aplicamos el inverso aditivo (el inverso aditivo de –3 es +3, porque la
operación inversa de la resta es la suma).
Entonces hacemos: 2x – 3 + 3 = 53 + 3
En el primer miembro –3 se elimina con +3 y tendremos: 2x = 53 + 3 2x = 56
Ahora tenemos el número 2 que está multiplicando a la variable o incógnita x,
entonces lo pasaremos al otro lado de la igualdad dividiendo. Para
hacerlo, aplicamos el inverso multiplicativo de 2 (que es ½) a ambos
lados de la ecuación: 2x • ½ = 56 • ½
Simplificamos y tendremos ahora: x = 56 / 2 x = 28
Se denominan ecuaciones lineales o de
primer grado a las igualdades algebraicas con incógnitas cuyo exponente
es 1 (elevadas a uno, que no se escribe).as con incógnitas cuyo exponente
es 1 (elevadas a uno, que no se escribe).
Una de las pautas de números más interesantes el es triángulo de Pascal (llamado así en honor de Blaise Pascal, un famoso matemático y filósofo francés).
Para construir el triángulo, empieza con "1" arriba, y pon números debajo formando un triángulo.
Cada número es la suma de los dos números que tiene encima, menos los extremos, que son siempre "1".
Prueba esto: empieza con un 1 de la izquierda, da un paso arriba y uno al lado, suma los cuadrados donde caigas (como en el dibujo)... las sumas que salen son la sucesión de Fibonacci.
(La sucesión de Fibonacci se hace sumando dos números para conseguir el siguiente, por ejemplo 3+5=8, después 5+8=13, etc.)
Simetría
El triángulo es simétrico, esto quiere decir que se ve igual desde la derecha que desde la izquierda
USAR EL TRIÁNGULO DE PASCAL
Caras y cruces
El triángulo de Pascal te dice cuántas combinaciones de caras y cruces de pueden salir tirando monedas. Así puedes averiguar la "probabilidad" de cualquier combinación.
Por ejemplo, si tiras una moneda tres veces, sólo hay una manera de sacar tres caras (CCC), pero hay tres maneras de sacar dos caras y una cruz (CCX, CXC, XCC), también tres de sacar una cara y dos cruces (CXX, XCX, CXX) y sólo una de sacar tres cruces (XXX). Esta es la pauta "1,3,3,1" en el triángulo de Pascal.
¿Cuál es la probabilidad de sacar exactamente dos caras con 4 monedas?
Hay 1+4+6+4+1 = 16 (o 4×4=16) resultados posibles, y 6 de ellos dan exactamente dos caras. Así que la probabilidad es 6/16, o 37.5%
Combinaciones
El triángulo también muestra cuántas combinaciones de objetos son posibles.
Por ejemplo, si tienes 16 bolas de billar, ¿de cuántas maneras puedes elegir tres de ellas (sin hacer diferencia del orden en que las eliges)?
Respuesta: baja a la fila 16 (la primera es la fila 0), y mira 3 lugares a la derecha, allí está la respuesta, 560. Aquí tienes un trozo del triángulo en la fila 16:
TEMA:Desarrollo general de un binomio elevado a la "n" potencia mediante el uso del triangulo de Pascal.
Uno de los temas que mas se le complica a los jóvenes en el área de las matemáticas es el desarrollo de los binomios a alguna potencia, la causa de esta complicación es que las instrucciones siempre fueron memorísticas, casi casi como canción, como en el caso de un binomio al cuadrado, cuya formula sería la siguiente:
(a+b)2
(a2+2ab+b2)
Aunque parece muy difícil, no lo es si seguimos alguna sencillas reglas, así que, pongamos atención a las siguientes instrucciones con las cuales resolveremos un binomio a la 3 potencia
(a+b)3
Paso No. 1:El desarrollo tendrá (n+1) elementos, esto es, uno mas del exponente, si esta elevado a la 2 tendrá 3 elementos (2+1), en este caso, nuestra ecuación esta elevada a la "3", por lo que tendrá 4 elementos (3+1) así, el primer paso quedaría de la siguiente manera.
Paso No. 2:Como segundo paso, colocamos la primera y la segunda variable en todos y cada uno de los espacios, como podemos ver en el siguiente ejemplo.
Paso No. 3:Empezamos por colocar los exponentes primero a la primer variable empezando del exponente máximo en este caso "3" reduciendo uno en cada espacio hasta llegar al último en "0".
Paso No. 4:Ahora empezamos con la segunda variable del binomio, colocando los exponente de manera inversa empezando ahora de menor a mayor, en este caso empezando de "0" y sumando uno en cada espacio hasta llegar hasta "3" en el último lugar.
Paso No. 5:Ahora, utilizando el triángulo de Pascal, colocamos en cada espacio el numero que corresponda al renglón del triángulo con el que se relaciona, en esta caso, como el exponente es "3", utilizamos los número del renglón "3".
Paso No. 5:Quedando de la siguiente manera
Paso No. 6:Por último se eliminan los valores que tengan "0" y "1" en el exponente y en el coeficiente, quedando de la siguiente manera.
De esta manera hemos desarrollado un binomio a la "3" potencia y hemos aprendido como hacerlo para cualquier exponente "n".
Son aquellos productos que se rigen por reglas fijas y cuyo resultado puede hallarse por simple inspección. Su denominados también "Identidades Algebraicas". Son aquellos productos cuyo desarrollo es clásico y por esto se le reconoce fácilmente. Las más importantes son :
Binomio de Suma al Cuadrado:El Cuadrado del primer Termino, más el Doble Producto del Primer por el segundo Termino, más el Cuadrado del Segundo Término. ( a + b )2 = a2 + 2ab + b2 Binomio Diferencia al Cuadrado:El Cuadrado del primer Término, menos el Doble Producto del Primer por el segundo Término, más el Cuadrado del Segundo Término. ( a - b )2 = a2 - 2ab + b2 Diferencia de Cuadrados: El Cuadrado del Primer Término menos El Cuadrado del Segundo Término. ( a + b ) ( a - b ) = a2 - b2 Producto de dos binomios que tienen un término común: El cuadrado del termino común, mas el producto de termino comun por la suma de los terminos no comúnes, mas el producto de los términos no comunes. ( x + a)(x + b) = x2 + ( a + b) x + ab
Binomio Suma al Cubo: El Cubo del Primer Término, más el triple producto del cuadrado del primer por el segundo Término, más el triple producto del primer por el cuadrado del segundo Término, más el cubo del segundo Término. ( a + b )3 = a3 + 3 a2b + 3 ab2 + b3 = a3 + b3 + 3 ab (a + b)
Binomio Diferencia al Cubo El Cubo del Primer Término, menos el triple producto del cuadrado del primer por el segundo Término, más el triple producto del primer por el cuadrado del segundo Término, menos el cubo del segundo Término. ( a - b )3 = a3 - 3 a2b + 3 ab2 - b3 Suma de dos Cubos: Se saca raiz cubica a cada uno de los dos terminos cubicos, para obtener un binomio (la suma de dos numeros), y en base a ese binomio, se utiliza la siguiente regla para obtener un trinomio: el cuadrado del primero, menos el producto del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo. a3 + b3 = ( a + b ) ( a2 – ab + b2)
Diferencia de Cubos Se saca raiz cubica a cada uno de los dos terminos cubicos, para obtener un binomio (la diferencia de dos numeros), y en base a ese binomio, se utiliza la siguiente regla para obtener un trinomio: el cuadrado del primero, más el producto del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo. a3 - b3 = ( a - b ) ( a2 + ab + b2)
Trinomio Suma al Cuadrado ó Cuadrado de un Trinomio: El cuadrado del primer término, más el cuadrado del segundo término, más el cuadrado del tercer termino, mas el doble producto del primero por el segundo, más el doble producto del segundo por el tercero, más el doble producto del tercero por el primero. ( a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac = a2 + b2 + c2 + 2 ( ab + bc + ac)
Trinomio Suma al Cubo ( a + b + c)3 = a3 + b3 + c + 3(a + b) . (b +c) . (a + c)
Identidades de Legendre ( a + b)2 + ( a – b)2 = 2 a2 2b2 = 2(a2 + b2) ( a + b)2 + ( a – b)2 = 4 ab
, en el siglo VII.
